指数对数高考题,高考数学指数对数真题

1.求对数运算法则及指数的所有运算性质

2.log以1/3为底1/2的对数，怎么变log以3为底2的对数，2011重庆高考题。

3.哪些函数图像在高考考试中出现的可能性更大？

4.12陕西高考答案数学

5.高1数学问题

本题考查了对数的运算法则,基本不等式的性质。

利用对数运算法则可得b=3a/(a-4),a>4,再利用基本不等式即可得出

解：因为3a+4b>0,ab>0这是详细答案你看下若log4(3a+4b)=log2(根号ab),则a+b的最小值是（）

A 6+2根号3 ?B 7+2根号3 ? C 6+4根号3 ?D 7+4根号3

这个题目不识很难，相信看完答案你就明白了，不明白可以继续问我哦，这是同学告诉的学习的地，蛮好用的，有帮助的话希望给个采纳哦！加油~祝你学习进步！

求对数运算法则及指数的所有运算性质

#高三# 导语怎么答好高考数学函数题？ 整理了高考数学函数题答题技巧和方法，供参考。

　 高考函数体命题方向

　高考函数与方程思想的命题主要体现在三个方面

　①是建立函数关系式，构造函数模型或通过方程、方程组解决实际问题;

　②是运用函数、方程、不等式相互转化的观点处理函数、方程、不等式问题;

　③是利用函数与方程思想研究数列、解析几何、立体几何等问题.在构建函数模型时仍然十分注重“三个二次”的考查.特别注意客观形题目，大题一般难度略大。

　 高考数学函数题答题技巧

　对数函数

　对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

　对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

　(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。

　(2)对数函数的值域为全部实数集合。

　(3)函数总是通过(1，0)这点。

　(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

　(5)显然对数函数无界。

　指数函数

　指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得

　可以得到：

　(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

　(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。

　(3)函数图形都是下凹的。

　(4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。

　(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于y轴与x轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于y轴的正半轴与x轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

　(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于x轴,永不相交。

　(7)函数总是通过(0，1)这点。

　(8)显然指数函数无界。

　奇偶性

　一般地，对于函数f(x)

　(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

　(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

　(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

　(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

　说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

　②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数。

　(分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)

　③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

　 函数的性质与图象

　函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．

　复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：

　1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．

　2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数值和最小值的常用方法．

　3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．

　这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解．

　函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．

　对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．

　这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．

log以1/3为底1/2的对数，怎么变log以3为底2的对数，2011重庆高考题。

嗯……你说的这些不全，还有一些。（以下对数底数皆为a或b）

1. a的logaN次方等于N，loga1等于0，logaa等于1

2.就如同你所说的，第二个是loga（N/M）=logaN-logaM，而且还有一条：logaMn（M的n次方）=nlogaM但是要注意成立条件，包括你所说的上述式子都要满足a＞0且a≠1，M＞0，N＞0

3.logaN=logbN/logba（底数b可为任意大于1的实数）。这是换底公式，同底数的对数相除可以消掉底数成为一个新的对数。你可以自己多理解看看。

4.logab=1/logba；logambn（底数为a的m次方，自变量为b的n次方）=（n/m）logab；logaan（自变量为a的n次方）=n

例题1：

（2007，山东高考题）给出下列三个灯饰：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），f（x+y）=f（x）+f（y）/1-f（x）f（y），下列函数中不满足其中任何一个等式的是 （ ）

A f（x）=3x（3的x次方） B f（x）=sinx

C f（x）=log2x（2为底数） D f（x）=tanx

答案是B。这个没有什么好解释的，你可以一个一个带进去看。

例题2：

设函数f（x）=logax（a＞0且a≠1），若f（x1x2x3...x2006）=50，则f（x1，2）（x1的平方，格式同下，打不出下角标和平方）+f（x2，2）+f（x3，2）+...+f（x2006，2）的值等于 （ ）

A 2500 B 50

C 100 D 2loga50

答案是C。f（x1，2）=loga（x1，2），运用上述性质2，将x1的次方2提出，变成2logax1，后面的式子同理，则原式可变成2logax1+2logax2+2logax3+...2logax2006，再运用性质2里的同底数指数相加变乘的规律，又可变为2[log（x1x2x3...x2006）]，借助已知条件f（x1x2x3...x2006）=50=log（x1x2x3...x2006），所以结果是100

我自己的解释，不知道有没有解释好……对数函数的题大都比较简单，多做就好。需要提一提的是，第四条性质用的比较少，主要还是1，2，3条特别是第三条，有时会出现在比较灵活的题目里面，注意把握好

对数 函数的性质大概就是这些，不知道我有没有漏掉，例题也是我练习书上的，这是因为我怕记错所以翻出书来找的……如果有遗漏的请其他人补充

好吧还是那句话，好好学，加油

哪些函数图像在高考考试中出现的可能性更大？

log以1/3为底1/2的对数，可看为以3的-1次方为底2的-1次方的对数。然后将底的-1次方提到log前变为-1分之1，将2上的-1次方提到前变为-1.故为log以3为底2的对数

log以a的b次方为底m的n次方的对数，可化为（n/b）log以a为底m的对数

12陕西高考答案数学

在高考数学考试中，函数图像出现的可能性较大。以下是一些常见的函数图像类型：

1.二次函数：如y=ax^2+bx+c(a≠0)、y=a(x-h)^2+k(a≠0)等。这类函数图像在高考试题中经常出现，尤其是与顶点、对称轴、最值等相关的问题。

2.指数函数：y=a^x(a>0,a≠1)和y=a^(-x)(a>0,a≠1)。这类函数图像在高考试题中也较为常见，尤其是在解决与对数运算、指数运算相关的问题时。

3.三角函数：正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)的图像。这类函数图像在高考试题中通常出现在求解三角形相关问题或者物理问题中。

4.幂函数：y=x^a(a≠0)。这类函数图像在高考试题中较少出现，但在一些涉及指数运算或幂级数的问题中可能会遇到。

5.分段函数：形如y=f(x)={u(x),xgeq0;v(x),x

6.复合函数：由两个或多个基本初等函数组成的函数，如y=f(g(x))。这类函数图像在高考试题中较少出现，但在一些涉及复杂数学模型或实际问题的问题中可能会遇到。

总之，在高考数学考试中，函数图像出现的可能性较大，但具体题型和难度可能因试卷和地区而异。因此，建议考生全面复习各类函数图像及其性质，以便更好地应对高考试题。

高1数学问题

希望能帮到你，

绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

注息事项:

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·

4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷

一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合 ；,则 中所含元素

的个数为（ ）

解析选

， ， ， 共10个

（2）将 名教师， 名学生分成 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，

每个小组由 名教师和 名学生组成，不同的安排方案共有（ ）

种 种 种 种

解析选

甲地由 名教师和 名学生： 种

（3）下面是关于复数 的四个命题：其中的真命题为（ ）

的共轭复数为 的虚部为

解析选

， ， 的共轭复数为 ， 的虚部为

（4）设 是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上一点，

是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为（ ）

解析选

是底角为 的等腰三角形

（5）已知 为等比数列， ， ，则 （ ）

解析选

， 或

（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数 和

实数 ，输出 ，则（ ）

为 的和

为 的算术平均数

和 分别是 中最大的数和最小的数

和 分别是 中最小的数和最大的数

解析选

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的

是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

解析选

该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为

此几何体的体积为

（8）等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于

两点， ；则 的实轴长为（ ）

解析选

设 交 的准线 于

得：

（9）已知 ，函数 在 上单调递减。则 的取值范围是（ ）

解析选

不合题意 排除

合题意 排除

另： ，

得：

（10）已知函数 ；则 的图像大致为（ ）

解析选

得： 或 均有 排除

（11）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的求面上， 是边长为 的正三角形，

为球 的直径，且 ；则此棱锥的体积为（ ）

解析选

的外接圆的半径 ，点 到面 的距离

为球 的直径 点 到面 的距离为

此棱锥的体积为

另： 排除

（12）设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 最小值为（ ）

解析选

函数 与函数 互为反函数，图象关于 对称

函数 上的点 到直线 的距离为

设函数

由图象关于 对称得： 最小值为

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知向量 夹角为 ，且 ；则

解析

(14) 设 满足约束条件： ；则 的取值范围为

解析 的取值范围为

约束条件对应四边形 边际及内的区域：

则

（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3

正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从

正态分布 ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命

超过1000小时的概率为

解析使用寿命超过1000小时的概率为

三个电子元件的使用寿命均服从正态分布

得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为

超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率

那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

（16）数列 满足 ，则 的前 项和为

解析 的前 项和为

可证明：

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知 分别为 三个内角 的对边，

（1）求 （2）若 ， 的面积为 ；求 。

解析（1）由正弦定理得：

（2）

解得： （l fx lby）

18.（本小题满分12分）

某花店每天以每枝 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 元的价格出售，

如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进 枝玫瑰花，求当天的利润 (单位：元)关于当天需求量

（单位：枝， ）的函数解析式。

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（i）若花店一天购进 枝玫瑰花， 表示当天的利润（单位：元），求 的分布列，

数学期望及方差；

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？

请说明理由。

解析（1）当 时，

当 时，

得：

（2）（i） 可取 ， ，

的分布列为

（ii）购进17枝时，当天的利润为

得：应购进17枝

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱 中， ，

是棱 的中点，

（1）证明：

（2）求二面角 的大小。

解析（1）在 中，

得：

同理：

得： 面

（2） 面

取 的中点 ，过点 作 于点 ，连接

，面 面 面

得：点 与点 重合

且 是二面角 的平面角

设 ，则 ，

既二面角 的大小为

（20）（本小题满分12分）

设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， ，已知以 为圆心，

为半径的圆 交 于 两点；

（1）若 ， 的面积为 ；求 的值及圆 的方程；

（2）若 三点在同一直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公共点，

求坐标原点到 距离的比值。

解析（1）由对称性知： 是等腰直角 ，斜边

点 到准线 的距离

圆 的方程为

（2）由对称性设 ，则

点 关于点 对称得：

得： ，直线

切点

直线

坐标原点到 距离的比值为 。（lfx lby）

（21）（本小题满分12分）

已知函数 满足满足 ；

（1）求 的解析式及单调区间；

（2）若 ，求 的最大值。

解析（1）

令 得：

得：

在 上单调递增

得： 的解析式为

且单调递增区间为 ，单调递减区间为

（2） 得

①当 时， 在 上单调递增

时， 与 矛盾

②当 时，

得：当 时，

令 ；则

当 时，

当 时， 的最大值为

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，

做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图， 分别为 边 的中点，直线 交

的外接圆于 两点，若 ，证明：

（1） ；

（2）

解析（1） ，

（2）

（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

已知曲线 的参数方程是 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴

为极轴建立坐标系，曲线 的坐标系方程是 ，正方形 的顶点都在 上，

且 依逆时针次序排列，点 的极坐标为

（1）求点 的直角坐标；

（2）设 为 上任意一点，求 的取值范围。

解析（1）点 的极坐标为

点 的直角坐标为

（2）设 ；则

（lfxlby）

（24）（本小题满分10分）选修 ：不等式选讲

已知函数

（1）当 时，求不等式 的解集；

（2）若 的解集包含 ，求 的取值范围。

解析（1）当 时，

或 或

或

（2）原命题 在 上恒成立

在 上恒成立

在 上恒成立

2012年高考文科数学试题解析（全国课标）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1<x<1}，则

（A）AB （B）BA （C）A=B （D）A∩B=?

命题意图本题主要考查一元二次不等式解法与集合间关系，是简单题.

解析A=（－1,2），故BA，故选B.

（2）复数z＝ 的共轭复数是

（A） （B） （C） （D）

命题意图本题主要考查复数的除法运算与共轭复数的概念，是简单题.

解析∵ = = ，∴ 的共轭复数为 ，故选D.

（3）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线 y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为

（A）－1 （B）0 （C） （D）1

命题意图本题主要考查样本的相关系数，是简单题.

解析有题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D.

（4）设 , 是椭圆 ： =1（ ＞ ＞0）的左、右焦点， 为直线 上一点，△ 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为

. . . .

命题意图本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.

解析∵△ 是底角为 的等腰三角形，

∴ ， ，∴ = ，∴ ，∴ = ，故选C.

（5）已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则 的取值范围是

（A）(1－，2) （B）(0，2)

（C）(－1，2) （D）(0，1+)

命题意图本题主要考查简单线性规划解法，是简单题.

解析有题设知C(1+ ,2)，作出直线 ： ，平移直线 ，有图像知，直线 过B点时， =2，过C时， = ，∴ 取值范围为(1－，2)，故选A.

（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数 ( ≥2)和实数 ， ，…， ，输出 ， ，则

. + 为 ， ，…， 的和

. 为 ， ，…， 的算术平均数

. 和 分别为 ， ，…， 中的最大数和最小数

. 和 分别为 ， ，…， 中的最小数和最大数

命题意图本题主要考查框图表示算法的意义，是简单题.

解析由框图知其表示的算法是找N个数中的最大值和最小值， 和 分别为 ， ，…， 中的最大数和最小数，故选C.

21世纪教育网（7）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为

.6 .9 .12 .18

命题意图本题主要考查简单几何体的三视图及体积计算，是简单题.

解析由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，这边上高为3，棱锥的高为3，故其体积为 =9，故选B.

(8)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为

（A）π （B）4π （C）4π （D）6π

命题意图

解析

（9）已知 >0， ，直线 = 和 = 是函数 图像的两条相邻的对称轴，则 =

（A） （B） （C） （D）

命题意图本题主要考查三角函数的图像与性质，是中档题.

解析由题设知， = ，∴ =1，∴ = （ ），

∴ = （ ），∵ ，∴ = ，故选A.

（10）等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 、 两点， = ，则 的实轴长为

. . .4 .8

命题意图本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.

解析由题设知抛物线的准线为： ，设等轴双曲线方程为： ，将 代入等轴双曲线方程解得 = ，∵ = ，∴ = ，解得 =2，

∴ 的实轴长为4，故选C.

(11)当0< ≤时， ，则a的 取值范围是

（A）(0，) （B）(，1) （C）(1，) （D）(，2)

命题意图本题主要考查指数函数与对数函数的图像与性质及数形结合思想，是中档题.

解析由指数函数与对数函数的图像知 ，解得 ，故选A.

（12）数列{ }满足 ，则{ }的前60项和为

（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830

命题意图本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力，是难题.

解析法1有题设知

=1，① =3 ② =5 ③ =7， =9，

=11， =13， =15， =17， =19， ，

……

∴②－①得 =2，③+②得 =8，同理可得 =2， =24， =2， =40，…，

∴ ， ， ，…，是各项均为2的常数列， ， ， ，…是首项为8，公差为16的等差数列，

∴{ }的前60项和为 =1830.

法2可证明：

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13)曲线 在点（1,1）处的切线方程为________

命题意图本题主要考查导数的几何意义与直线方程，是简单题.

解析∵ ，∴切线斜率为4，则切线方程为： .

(14)等比数列{ }的前n项和为Sn，若S3+3S2=0， 则公比 =_______

命题意图本题主要考查等比数列n项和公式，是简单题.

解析当 =1时， = ， = ，由S3+3S2=0得 ， =0，∴ =0与{ }是等比数列矛盾，故 ≠1，由S3+3S2=0得 ， ，解得 =－2.

(15) 已知向量 ， 夹角为 ，且| |=1，| |= ，则| |= .

命题意图.本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则，是简单题.

解析∵| |= ，平方得 ，即 ，解得| |= 或 （舍）

(16)设函数 =的最大值为M，最小值为m，则M+m=____

命题意图本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想，是难题.

解析 = ，

设 = = ，则 是奇函数，

∵ 最大值为M，最小值为 ，∴ 的最大值为M-1，最小值为 －1，

∴ ， =2.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）已知 ， ， 分别为 三个内角 , , 的对边， .

(Ⅰ)求 ；

(Ⅱ)若 =2， 的面积为 ，求 ， .

命题意图本题主要考查正余弦定理应用，是简单题.

解析(Ⅰ)由 及正弦定理得

由于 ，所以 ，

又 ，故 .

(Ⅱ) 的面积 = = ,故 =4，

而 故 =8，解得 =2.

18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。

（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式。

（Ⅱ）花店记录了100天 玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量n

14

15

16

17

18

19

20

频数

10

20

16

16

15

13

10

(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天 的日利润（单位：元）的平均数；

(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.

命题意图本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事件的和概率，是简单题.

解析（Ⅰ）当日需求量 时，利润 =85；

当日需求量 时，利润 ，

∴ 关于 的解析式为 ；

（Ⅱ）(i)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的平均利润为

=76.4；

(ii)利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为

（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱 中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点。

(I) 证明：平面 ⊥平面

（Ⅱ）平面 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

命题意图本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.

解析（Ⅰ）由题设知BC⊥ ,BC⊥AC， ,∴ 面 , 又∵ 面 ，∴ ,

由题设知 ,∴ = ,即 ,

又∵ , ∴ ⊥面 , ∵ 面 ，

∴面 ⊥面 ；

（Ⅱ）设棱锥 的体积为 ， =1，由题意得， = = ，

由三棱柱 的体积 =1，

∴ =1:1， ∴平面 分此棱柱为两部分体积之比为1:1.

（20）（本小题满分12分）设抛物线 ： （ ＞0）的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，已知以 为圆心， 为半径的圆 交 于 , 两点.

(Ⅰ)若 , 的面积为 ，求 的值及圆 的方程；

(Ⅱ)若 ， ， 三点在同一条直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公共点，求坐标原点到 ， 距离的比值.

命题意图本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查数形结合思想和运算求解能力.

解析设准线 于 轴的焦点为E，圆F的半径为 ，

则|FE|= ， = ，E是BD的中点，

(Ⅰ) ∵ ，∴ = ，|BD|= ，

设A( ， )，根据抛物线定义得，|FA|= ，

∵ 的面积为 ，∴ = = = ，解得 =2，

∴F(0,1), FA|= ， ∴圆F的方程为： ；

(Ⅱ) 解析1∵ ， ， 三点在同一条直线 上, ∴ 是圆 的直径， ,

由抛物线定义知 ，∴ ，∴ 的斜率为 或－ ，

∴直线 的方程为： ，∴原点到直线 的距离 = ，

设直线 的方程为： ，代入 得， ，

∵ 与 只有一个公共点， ∴ = ，∴ ，

∴直线 的方程为： ，∴原点到直线 的距离 = ，

∴坐标原点到 ， 距离的比值为3.

解析2由对称性设 ，则

点 关于点 对称得：

得： ，直线

切点

直线

坐标原点到 距离的比值为 。

（21）（本小题满分12分）设函数f(x)= ex－ax－2

(Ⅰ)求f(x)的单调区间

(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f?(x)+x+1>0，求k的最大值

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

22. （本小题满分10分）选修4－1：几何选讲

如图，D，E分别是△ABC边AB,AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆与F,G两点，若CF∥AB，证明：

(Ⅰ) CD=BC;

(Ⅱ)△BCD∽△GBD.

命题意图本题主要考查线线平行判定、三角形相似的判定等基础知识，是简单题.

解析(Ⅰ) ∵D，E分别为AB,AC的中点，∴DE∥BC，

∵CF∥AB， ∴BCFD是平行四边形，

∴CF=BD=AD， 连结AF，∴ADCF是平行四边形，

∴CD=AF，

∵CF∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC；

(Ⅱ) ∵FG∥BC，∴GB=CF，

由(Ⅰ)可知BD=CF，∴GB=BD,

∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD∽△GBD.

23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线 的参数方程是 （ 是参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 :的极坐标方程是 =2，正方形ABCD的顶点都在 上，且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2， ）.

(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标；

(Ⅱ)设P为 上任意一点，求 的取值范围.

命题意图本题考查了参数方程与极坐标，是容易题型.

解析(Ⅰ)由已知可得 ， ，

， ，

即A(1， )，B（－ ，1），C（―1，― ），D（ ，－1），

(Ⅱ)设 ，令 = ，

则 = = ，

∵ ，∴ 的取值范围是[32,52].

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数 = .

(Ⅰ)当 时，求不等式 ≥3的解集；

(Ⅱ) 若 ≤ 的解集包含 ，求 的取值范围.

命题意图本题主要考查含绝对值不等式的解法，是简单题.

解析(Ⅰ)当 时， = ，

当 ≤2时，由 ≥3得 ，解得 ≤1；

当2＜ ＜3时， ≥3，无解；

当 ≥3时，由 ≥3得 ≥3，解得 ≥8，

∴ ≥3的解集为{ | ≤1或 ≥8}；

(Ⅱ) ≤ ，

当 ∈[1,2]时， = =2，

∴ ，有条件得 且 ，即 ，

故满足条件的 的取值范围为[－3,0].

指数、对数以及指数函数与对数函数，是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛中，都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质，熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系，对学习好高中函数知识，意义重大。

一、 指数概念与对数概念：

指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘a·a……a(n个)=an导出乘方，这里的n为正整数。从初中开始，首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念。

欧拉指出：“对数源出于指数”。一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b

其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

ab=N与b=logaN是一对等价的式子，这里a是给定的不等于1的正常数。当给出b求N时，是指数运算，当给出N求b时，是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。

二、指数运算与对数运算的性质

1．指数运算性质主要有3条：

ax·ay=ax+y,(ax)y=axy,(ab)x=ax·bx（a>0,a≠1,b>0,b≠1）

2．对数运算法则（性质）也有3条：

（1）loga(MN)=logaM+logaN

（2）logaM/N=logaM-logaN

（3）logaMn=nlogaM(n∈R)

(a>0,a≠1,M>0,N>0)

3．指数运算与对数运算的关系：

X=alogax；mlogan=nlogam

4．负数和零没有对数；1的对数是零，即

loga1=0；底的对数是1，即logaa=1

5．对数换底公式及其推论：

换底公式：logaN=logbN/logba

推论1：logamNn=(n/m)logaN

推论2：

三、指数函数与对数函数

函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数。它的基本情况是：

（1）定义域为全体实数（-∞，+∞）

（2）值域为正实数（0，+∞），从而函数没有最大值与最小值，有下界，y>0

（3）对应关系为一一映射，从而存在反函数--对数函数。

（4）单调性是：当a>1时为增函数；当0<a<1时，为减函数。

（5）无奇偶性，是非奇非偶函数，但y=ax与y=a-x的图象关于y轴对称，y=ax与y=-ax的图象关于x轴对称；y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称。

（6）有两个特殊点：零点（0，1），不变点（1，a）

（7）抽象性质：f(x)=ax(a>0,a≠1),

f(x+y)=f(x)·f(y),f(x-y)=f(x)/f(y)

函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数，它的基本情况是：

（1）定义域为正实数（0，+∞）

（2）值域为全体实数（-∞，+∞）

（3）对应关系为一一映射，因而有反函数——指数函数。

（4）单调性是：当a>1时是增函数，当0<a<1时是减函数。

（5）无奇偶性。但y=logax与y=log(1/a)x关于x轴对称，y=logax与y=loga(-x)图象关于y轴对称，y=logax与y=ax图象关于直线y=x对称。

（6）有特殊点（1，0）,(a，1)

（7）抽象运算性质f(x)=logax(a>0,a≠1)，

f(x·y)=f(x)+f(y),

f(x/y)=f(x)-f(y)

例1．若f(x)=(ax/(ax+√a))，求f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)

分析：和式中共有1000项，显然逐项相加是不可取的。需找出f(x)的结构特征，发现规律，注意到1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001=…=1，

而f(x)+f(1-x)=(ax/(ax+√a))+(a1-x/(a1-x+√a))=(ax/(ax+√a))+(a/(a+ax·√a))=(ax/(ax+√a))+((√a)/(ax+√a))=((ax+√a)/(ax+√a))=1规律找到了，这启示我们将和式配对结合后再相加：

原式=[f(1/1001)+f(1000/1001)]+[f(2/1001)+f(999/1001)]+…+[f(500/1001)+f(501/1001)]=(1+1+…+1)5000个=500

说明：观察比较，发现规律f(x)+f(1-x)=1是本例突破口。

（1）取a=4就是1986年的高中数学联赛填空题：设f(x)=(4x/(4x+2))，那么和式f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)的值= 。

（2）上题中取a=9，则f(x)=(9x/(9x+3))，和式值不变也可改变和式为求f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+…+f((n-1)/n).

（3）设f(x)=(1/(2x+√2))，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为 。这就是2003年春季上海高考数学第12题。

例2．5log25等于：（ ）

（A）1/2 （B）(1/5)10log25 （C）10log45 （D）10log52

解：∵5log25=(10/2)log25=(10log25)/(2log25)=(1/5)×10log25

∴选（B）

说明：这里用到了对数恒等式：alogaN=N(a＞0,a≠1,N＞0)

这是北京市1997年高中一年级数学竞赛试题。

例3．计算

解法1：先运用复合二次根式化简的配方法对真数作变形。

解法2：利用算术根基本性质对真数作变形，有

说明：乘法公式的恰当运用化难为易，化繁为简。

例4．试比较(122002+1)/(122003+1)与(122003+1)/(122004+1)的大小。

解：对于两个正数的大小，作商与1比较是常用的方法，记122003=a＞0，则有

((122002+1)/(122003+1))÷((122003+1)/(122004+1))=((a/12)+1)/(a+1)·((12a+1)/(a+1))=((a+12)(12a+1))/(12(a+1)2)=((12a2+145a+12)/(12a2+24a+12))＞1

故得：((122002+1)/(122003+1))＞((122003+1)/(122004+1))

例5．已知(a,b为实数)且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（ ）

（A）-5 （B）-3 （C）3 （D）随a,b的取值而定

解：设lglog310=t，则lglg3=lg(1/log310)=-lglog310=-t

而f(t)+f(-t)=

∴f(-t)=8-f(t)=8-5=3

说明：由对数换底公式可推出logab·logba=(lgb/lga)·(lga/lgb)=1，即logab=(1/logba)，因而lglog310与lglg3是一对相反数。设中的部分，则g(x)为奇函数，g(t)+g(-t)=0。这种整体处理的思想巧用了奇函数性质使问题得解，关键在于细致观察函数式结构特征及对数的恒等变形。

例6．已知函数y=((10x-10-x)/2)(X∈R)

（1）求反函数y=f-1(x)

（2）判断函数y=f-1(x)是奇函数还是偶函数

分析：（1）求y=(10x-10-x)/2的反函数首先用y把x表示出来，然后再对调x,y即得到y=f-1(x)；

（2）判断函数y=f-1(x)的奇偶性要依据奇函数或偶函数的定义，看当X∈R时是否有

f(-x)=-f(x)或(f(-x)+f(x)=0)

或f(-x)=f(x)

恒成立。

解：（1）由y=((10x-10-x)/2)(X∈R)可得2y=10x-10-x，设10x=t，上式化为：2y=t-t-1两边乘t，得2yt=t2-1整理得：t2-2yt-1=0，解得：

由于t=10x＞0，故将舍去，得到：将t=10x代入上式，即得:

所以函数y=((10x-10-x)/2)的反函数是

(2)由得:

∴f-1(-x)=-f(x)

所以，函数 是奇函数。

说明：①从本题求解及判断过程可以得到更一般的结论：函数y=((ax-a-x)/2)(X∈R,a＞0,a≠1)的反函数是，它们都是奇函数。当a=2,3,10或e时就构造了新的特殊的题目。进一步还可以研究它们的单调性，如1992年高考数学试题：函数y=((ex-e-x)/2)的反函数

（A）是奇函数，它在(0,+∞)上是减函数；

（B）是偶函数，它在(0,+∞)上是减函数；

（C）是奇函数，它在(0,+∞)上是增函数；

（D）是偶函数，它在(0,+∞)上是增函数。

②函数y=((ax-a-x)/2)是由y=f(x)=ax构造而得，全日制普通高级中学教科书（试验修订本。必修）《数学》第一册（上）（人民教育出版社中学数学室编著）P107复习参考题二B组第6题：设y=f(x)是定义在R上的任一函数，

求证：（1）F1(x)=f(x)+f(-x)是偶函数；

（2）F2(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。

而f(x)=F1(X)+F2(x)，它说明，定义在R上的任一函数都可以表示成一个奇函数(F2(x))与一个偶函数(F1(x))的代数和。从这个命题出发，由f(x)=ax就可以构造出诸多奇函数，比如，y=((ax-a-x)/2)；y=((ax-a-x)/(ax+a-x))=((a2x-1)/(a2x+1))等等用自然对数的底e≈2.71828…（无理数）作底，作函数sh(x)=((ex-e-x)/2),ch(x)=((ex+e-x)/2),th(x)=((ex-e-x)/(ex+e-x))它们分别叫做双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，它们具有如下性质：

(1)ch2(x)-sh2(x)=1;

(2)sh(x+y)=sh(x)·ch(y)+ch(x)·sh(y);

(3)ch(x+y)=ch(x)·ch(y)+sh(x)·sh(y);

(4)th(x+y)=((th(x)+th(y))/(1+th(x)·th(y)));

(5)ch(-x)=ch(x);

(6)sh(-x)=-sh(x);

(7)th(-x)=-th(x).

令x=y，则有

(8)sh(2x)=2sh(x)·ch(x);

(9)ch(2x)=ch2(x)+sh2(x)

其中①⑧⑨合起来，就是课本P107的第8题。

例7．已知函数f(x)=loga((1+x)/(1-x))(a＞0,a≠1)

（1）求f(x)的定义域

（2）判断f(x)的奇偶性并给以证明；

（3）当a＞1时，求使f(x)＞0的x取值范围；

（4）求它的反函数f-1(x)

解：（1）由对数的定义域知((1+x)/(1-x))＞0

解这个分式不定式，得：(x+1)(x-1)＜0,-1＜x＜1

故函数f(x)的定义域为（-1，1）

（2）f(-x)=loga((1-x)/(1+x))=log((1+x)/(1-x))-1=-loga((1+x)/(1-x))=-f(x)

由奇函数的定义知，函数f(x)是奇函数。

（3）由loga((1+x)/(1-x))＞0＜＝＞loga((1+x)/(1-x))＞loga1，

因为a＞1，所以由对数函数的单调性知((1+x)/(1-x))＞1，考虑由（1）知x＜1,1-x＞0，去分母，得：1+x＞1-x,x＞0故：0＜x＜1

所以对于a＞1，当x∈(0,1)时函数f(x)＞0

（4）由y=loga((1+x)/(1-x))得：((1+x)/(1-x))=ay应用会比分比定理得：((1+x)+(1-x))/((1+x)-(1-x))=((ay+1)/(ay-1))即:(2/2x)=((ay+1)/(ay-1))

∴x=((ay-1)/(ay+1))交换x,y得：

y=((ax-1)/(ax+1))，它就是函数f(x)=loga((1+x)/(1-x))的反函数f-1(x)即f-1(x)=((ax-1)/(ax+1))

说明：（1）函数y=loga((1+x)/(1-x))与y=((ax-1)/(ax+1))是一对反函数。取a=e，函数y=((ex-1)/(ex+1))的反函数的定义域是 。这就是89年的高考题目。

（2）已知f(x)=lg((1-x)/(1+x)),a,b∈(-1,1)求证：f(a)+f(b)=f((a+b)/(1+ab))（P89习题2.8第4题）可以看作该类函数的性质。

（3）y=ax与y=logax；y=((ax-a-x)/2)与；y=((ax-1)/(ax+1))与y=loga((1+x)/(1-x))这三对互反函数及其性质需要理解记忆。

例8．22003的十进制表示是个P位数，52003的十进位表示是个q位数，则p+q= 。

解：∵22003是个P位数,

∴10p-1＜22003＜10p ①

∵52003是个q位数，

∴10q-1＜52003＜10q ②

①×②得:10p+q-2＜(2×5)2003＜10p+q

即10p+q-2＜102003＜10p+q ③

∴2003=p+q-1

∴p+q=2004

例9．已知x2-2x+loga(a2-a)=0有一正根和一负根，求实数a的范围。

解：方程有一正根一负根的充分必要条件是：

loga(a2-a)＜0（由韦达定理而来）①

由a＞0,a≠1,a2-a=a(a-1)＞0,可得a＞1 ②，从而由loga(a2-a)＜0=loga1得:a2-a＜1,a2-a-1＜0，解得: ③，由②③得：

例10．设y=log(1/2)[a2x+2(ab)x-b2x+1](a＞0,b＞0)，求使y为负值的x的取值范围

解：∵(1/2)＜1,要使y＜0,只要

a2x+2(ab)x-b2x+1＞1，

即a2x+2(ab)x-b2x＞0

→b2x[(a/b)2x+2(a/b)x-1]＞0

→[(a/b)x]2+2(a/b)x-1＞0

→

→∵

→.

1°当a＞b＞0时,a/b＞1,；

2°当b＞a＞0时,0＜a/b＜1,

3°当a=b＞0时，x∈R。

练习四

1．设a,b,c都是正数，且3a=4b=6c，那么（ ）

（A）(1/c)=(1/a)+(1/b), (B)(2/c)=(2/a)+(1/b), (C)(1/c)=(2/a)+(2/b), (D)(2/c)=(1/a)+(2/b)

2.F(x)=(1+((2/(2x-1)))·f(x)(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( )

（A）是奇函数 （B）是偶函数

（C）可能是奇函数也可能是偶函数 （D）不是奇函数也不是偶函数

3．若f(x)=3x+5，则f-1(x)的定义域是（ ）

（A）(0,+∞) (B) (5,+∞) (C) (8,+∞) (D) (-∞,+∞)

4．求值：6lg40×5lg36

5．已知m,n为正整数，a＞0,a≠1,且logam+loga(1+(1/m))+loga(1+(1/(m+1))+…+loga(1+(1/(m+n-1)))=lgam+logan。求m,n

6．X=((1/(log(1/2)(1/3))+(1/(log(1/5)(1/3))的值属于区间（ ）

（A）（-2，-1） （B）（1，2） （C）（-3，-2） （D）（2，3）

7．计算：

（1）lg20+log10025 (2)lg5·lg20+(lg2)2

8．若集合{x，xy，lg(xy)}={0，∣x∣,y}，则log8(x2+y2)= 。

9．若x∈(1,10)，则lg2x,lgx2,lglgx的大小顺序是：

（A）lg2x＜lgx2＜lglgx (B)lg2x＜lglgx＜lgx2

（C）lgx2＜lg2x＜lglgx (D)lglgx＜lg2x＜lgx2

10．计算：

11．集合{x∣-1≤log(1/x)10＜-(1/2),x∈N}的真子集的个数是 。

12．求函数y=(1/4)x2-2x-3的单调区间。

13．已知指数函数f(x)=ax(a＞0,且a≠1)，求满足f(3x2-4x-5)>f(2x2-3x+1)的x的取值。

14．解方程8log6(x2-7x+15)=5log68

15．设有关于x的不等式lg (∣x+3∣+∣x-7∣)＞a

（1）当a=1时，解这个不等式；

（2）当a为何值时，这个不等式的解集为R？

参考答案

1.（B）；2.（A）；3.（B）；4.216；5.m=2，n=2；

6.（D）；7.（1）2，（2）1；8.1/3；9.（D）；

10.1/2；11.290-1；12.单调增区间（-∞，1]，单调减区间[1，+∞）

13.当a＞1时，x＜-2或x＞3，当0＜a＜1时，-2＜x＜3；

14.x1=2,x2=5；

15.(1)x＜-3或x＞7，（2）a＜1